1+1=2の証明
<ペアノの公理>
次の性質をもつ集合Nを考える。
(1)集合Nは1という要素をもつ。
(2)集合Nの各要素に対し、その後に続く数が1つだけある。
(3)互いに異なる要素の後に続く数は、互いに異なる。
(4)1を後に続く数とする要素は存在しない。
(5)集合Nの要素1がある性質Aを満たすとき、集合Nの要素nが性質Aをもち、かつnの
続く数も性質Aをもつならば、集合Nの全ての要素は性質Aをもつ。
この時、Nを自然数の集合といい、Nの要素を自然数という。
次に、+という記号に注目します。これも定義します。集合Nのある要素nについて、n+1=nの後に続く数、という関係が成り立つとします。
今、aという仮の自然数を考えます。これに別の自然数a'の後に続く数を足すとします。このとき、a+（a'+1）=（a+a'）の後に続く数、という関係が成り立つとします。また、自然数aに対してa+0=aが成り立つとします。
ペアノの公理（1）より、1は自然数であることが認められました。次に（2）より、1の後に続く数に対応するものがただ1つあることがわかります。これを2と表す、としましょう。
今、a=1とすると、a+（0+1）は1+1です。これは1の後に続く数です。1の後に続く数は先ほど2と表そうと決めます。よって、左辺が1+1、右辺が2。つまり、1+1=2となります。
このように、自然数のイメージや具体的なものを使わなくても、記号によって1+1=2という結果を得ます。